गणितातील महत्वाची सूत्रे

 ⚛️ गणित ⚛️

✅गणितातील महत्वाची सूत्रे

वर्तुळ -

1.     त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात. 

2.     वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात. 

3.     वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो. 

4.     जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.

5.     व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय. 

6.     वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो. 

7.     वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो. 

8.     वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D 

9.     अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7 

10.  अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36 

11.  वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)

12.  वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22   

13.  वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30 

14.  अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2 

15.  अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36 

16.  दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर. 

17.  दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते. 

घनफळ -

1.     इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)

2.     काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची 

3.     गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)

4.     गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2     

5.     घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3

6.     घनचितीची बाजू = ∛घनफळ

7.     घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते. 

8.     घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2 

9.     वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h 

10.  वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2 

11.  वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h 

इतर भौमितिक सूत्रे -

1.     समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची 

2.     समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार 

3.     सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2

4.     वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2

5.     वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr

6.     घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2

7.     दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh 

8.     अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2

9.     अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3

10.  त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )

11.  शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h  

12.  समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2

13.  दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h) 

14.  अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2 

15.  (S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती)  

16.  वक्रपृष्ठ = πrl

17.  शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी 

बहुभुजाकृती -

1.     n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0 किंवा [90×(2n-4)]0 असते.

2.     सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.

3.     बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4 काटकोन असते. 

4.     n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते. 

5.     सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप 

6.     बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2 

उदा. सुसम षटकोनाचे एकूण कर्ण = 6(6-3)/2 = 6×3/2 = 9

 

तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर -

1.     1 तास = 60 मिनिटे     

2.     0.1 तास = 6 मिनिटे   

3.     0.01 तास = 0.6 मिनिटे

4.     1 तास = 3600 सेकंद     

5.     0.01 तास = 36 सेकंद   

6.     1 मिनिट = 60 सेकंद     

7.     0.1 मिनिट = 6 सेकंद 

8.     1 दिवस = 24 तास

              = 24 × 60

              =1440 मिनिटे  

              = 1440 × 60

              = 86400 सेकंद

 

घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर -

1.     घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते. 

2.     दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो. 

3.     दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15 मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो.

4.     तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेच मिनिटकाट्यास 10 भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात. 

 दशमान परिमाणे -

विविध परिमाणांत एकमेकांचे रूपांतर करताना खालील तक्ता लक्षात ठेवा.

1.     100 कि.ग्रॅ. = 1 क्विंटल 

2.     10 क्विंटल = 1 टन  

   

3.     1 टन = 1000 कि.ग्रॅ. 

4.     1000 घनसेंमी = 1 लिटर  

5.     1 क्युसेक=1000घन लि.   

6.     12 वस्तू = 1 डझन  

   

7.     12 डझन = 1 ग्रोस   

     

8.     24 कागद = 1 दस्ता 

9.     20 दस्ते = 1 रीम   

 

10.  1 रीम = 480 कागद. 

विविध परिमाणे व त्यांचा परस्पर संबंध -

अ) अंतर –

1.     1 इंच = 25.4 मि.मि. = 2.54 से.मी.

2.     1 से.मी. = 0.394 इंच 

3.     1 फुट = 30.5 सेमी.  

4.     1 मी = 3.25 फुट

5.     1 यार्ड = 0.194 मी.

           

6.     1 मी = 1.09 यार्ड

ब) क्षेत्रफळ -    

1.     1 स्व्के. इंच = 6.45 सेमी 2

2.     1 सेमी 2 = 0.155 इंच 2

3.     1 एकर = 0.405 हेक्टर

4.     1 हेक्टर = 2.47 एकर = 100 आर/गुंठे

5.     1 स्व्के. मैल = 2.59 कि.मी. 2

6.     1 एकर फुट = 1230 मी. 3 = 1.23 मैल 

7.     1 कि.मी. 2 = 0.386 स्व्के.मैल

8.     1 गॅलन = 4.55 लिटर 

क) शक्ती -    

1.     1 एच.पी. = 0.746 किलो वॅट

2.     1 किलो वॅट = 1.34 एच.पी. 

3.     ड) घनफळ -    1(इंच) 3 = 16.4 सेमी. 2

4.     1 (सेमी) 3 = 0.610 (इंच) 3 

5.     क्युबिक फुट (1 फुट) 3 = 0.283 मी. 3

6.     1 मी 3 = 35 फुट 3 

7.     1 यार्ड 3 = 0.765 मी. 3 

इ) वजन -    

1.     1 ग्रॅम = 0.0353 औंस (Oz) 0

2.     1 पौंड (lb) = 454 ग्रॅम

3.     1 कि.ग्रॅ. = 2.0 पौंड (lb) 

वय व संख्या -

1.     दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज + दोन संख्यातील फरक) ÷ 2

2.     लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक) ÷ 2

3.     वय वाढले तरी दिलेल्या दोघांच्या वयातील फरक तेवढाच राहतो. 

दिनदर्शिका –

·         एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस 

·         महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात. 

·         टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात. 

नाणी -

1.     एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज 

2.     एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1 

पदावली -

·         पदावली सोडविताना कंस, चे, भागाकार, गुणाकार, बेरीज, वजाबाकी (÷, ×, +, -)

·         किंवा BODMAS हा क्रम ठेवावा.

सरासरी :-

1) N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या

 

2) क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.

उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16  या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14

 

संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी

 

n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2

 

उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13

 

2) 1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10

 

3) N या क्रमश:  संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2

 

उदा. 1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810

 

(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20) 

 

 सरळव्याज :-

·         सरळव्याज (I) = P×R×N/100

·         मुद्दल (P) = I×100/R×N

·         व्याजदर (R) = I×100/P×N

·         मुदत वर्षे (N) = I×100/P×R

·         चक्रवाढव्याज  रास (A)= P×(1+R/100)n, n= मुदत वर्षे  

 नफा तोटा :-

·         नफा = विक्री – खरेदी    

 

·         विक्री = खरेदी + नफा     

·         खरेदी = विक्री + तोटा 

·         तोटा = खरेदी – विक्री    

 

·         विक्री = खरेदी – तोटा   

 

·         खरेदी = विक्री – नफा 

·         शेकडा नफा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी 

·         शेकडा तोटा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी 

·         विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100+ शेकडा नफा)/100 

·         विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100 – शेकडा तोटा) / 100 

·         खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 + शेकडा नफा)

·         खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 – शेकडा नफा)  

 आयात, चौरस, त्रिकोण, कोन :-

·         आयत -

आयताची परिमिती = 2×(लांबी+रुंदी)   

    

·         आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी×रुंदी 

·         आयताची लांबी = (परिमिती ÷ 2) – रुंदी    

 

·         आयताची रुंदी =(परिमिती÷2) – लांबी 

·         आयताची रुंदी दुप्पट व लांबी निमपट केल्यास क्षेत्रफळ तेवढेच राहते.

·         आयताची लांबी व रुंदी दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते. 

·         चौरस -

·         चौरसाची परिमिती= 4×बाजूची लांबी     

·         चौरसाचे क्षेत्रफळ=(बाजू)2 किंवा (कर्ण)2/2 

·         चौरसाची बाजू दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते. 

·         दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या बाजूंच्या मापांच्या वर्गाच्या पटीत असते.

   समभुज चौकोण -

·         समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ     

·         = कर्णाच्या लांबीचा गुणाकार/2 

·         समलंब चौकोण -

·         समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = समांतर बाजूंच्या लांबीचा बेरीज×लंबांतर/2 

·         समलंब चौकोनाचे लंबांतर = क्षेत्रफळ×2/समांतर बाजूंची बेरीज 

·         समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजूंची बेरीज = क्षेत्रफळ×2/लबांतर 

·         त्रिकोण -

·         त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची/2

·         काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ    

 

·          

·         = काटकोन करणार्‍या बाजूंचा गुणाकार/2

·          

·         पायथागोरस सिद्धांत -

·         काटकोन त्रिकोणात (कर्ण)2 = (पाया)2+(उंची)2 

 प्रमाण भागिदारी :-

·         नफयांचे गुणोत्तर = भंडावलांचे गुणोत्तर × मुदतीचे गुणोत्तर 

·         भंडावलांचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ मुदतीचे गुणोत्तर 

·         मुदतीचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ भंडावलांचे गुणोत्तर 

 गाडीचा वेग – वेळ – अंतर :-

A) खांब ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी/ताशी वेग × 18/5 

B) पूल ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी + पूलाची लांबी / ताशी वेग × 18/5 

C) गाडीचा ताशी वेग  = कापवयाचे एकूण एकूण अंतर / लागणारा वेळ  × 18/5

 

D) गाडीची लांबी  = ताशी वेग × खांब ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18

 

E) गाडीची लांबी + पूलाची लांबी = ताशी वेग × पूल ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18

 

F) गाडीची ताशी वेग व लागणारा वेळ काढताना 18/5 ने गुण व अंतर काढताना 5/18 ने गुणा.

1 तास = 3600 सेकंद / 1 कि.मी. = 1000 मीटर  = 3600/1000 = 18/5

 

G) पाण्याचा प्रवाहाचा ताशी वेग = (नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने ताशी वेग – प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने ताशी वेग) ÷ 2

 

H) गाडीने कापावायचे एकूण अंतर – गाडीची लांबी = बोगध्याची लांबी

 

I) भेटण्यास दुसर्‍या गाडीला लागणारा वेळ

 

= वेळेतील फरक × पहिल्या गाडीचा वेग / वेगातील फरक

 

लागणारा वेळ = एकूण अंतर / दोन गाड्यांच्या वेगांची बेरीज