⚛️ गणित ⚛️
✅गणितातील महत्वाची सूत्रे
वर्तुळ -
1. त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.
2. वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात.
3. वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो.
4. जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.
5. व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय.
6. वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो.
7. वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो.
8. वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D
9. अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7
10. अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36
11. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)
12. वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22
13. वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30
14. अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2
15. अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36
16. दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर.
17. दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते.
घनफळ -
1. इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)
2. काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची
3. गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)
4. गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2
5. घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3
6. घनचितीची बाजू = ∛घनफळ
7. घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते.
8. घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2
9. वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h
10. वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2
11. वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h
इतर भौमितिक सूत्रे -
1. समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची
2. समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार
3. सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2
4. वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2
5. वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr
6. घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2
7. दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh
8. अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2
9. अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3
10. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )
11. शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h
12. समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2
13. दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h)
14. अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2
15. (S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती)
16. वक्रपृष्ठ = πrl
17. शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी
बहुभुजाकृती -
1. n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0 किंवा [90×(2n-4)]0 असते.
2. सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.
3. बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4 काटकोन असते.
4. n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते.
5. सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप
6. बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2
उदा. सुसम षटकोनाचे एकूण कर्ण = 6(6-3)/2 = 6×3/2 = 9
तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर -
1. 1 तास = 60 मिनिटे
2. 0.1 तास = 6 मिनिटे
3. 0.01 तास = 0.6 मिनिटे
4. 1 तास = 3600 सेकंद
5. 0.01 तास = 36 सेकंद
6. 1 मिनिट = 60 सेकंद
7. 0.1 मिनिट = 6 सेकंद
8. 1 दिवस = 24 तास
= 24 × 60
=1440 मिनिटे
= 1440 × 60
= 86400 सेकंद
घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर -
1. घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते.
2. दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो.
3. दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15 मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो.
4. तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेच मिनिटकाट्यास 10 भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात.
दशमान परिमाणे -
विविध परिमाणांत एकमेकांचे रूपांतर करताना खालील तक्ता लक्षात ठेवा.
1. 100 कि.ग्रॅ. = 1 क्विंटल
2. 10 क्विंटल = 1 टन
3. 1 टन = 1000 कि.ग्रॅ.
4. 1000 घनसेंमी = 1 लिटर
5. 1 क्युसेक=1000घन लि.
6. 12 वस्तू = 1 डझन
7. 12 डझन = 1 ग्रोस
8. 24 कागद = 1 दस्ता
9. 20 दस्ते = 1 रीम
10. 1 रीम = 480 कागद.
विविध परिमाणे व त्यांचा परस्पर संबंध -
अ) अंतर –
1. 1 इंच = 25.4 मि.मि. = 2.54 से.मी.
2. 1 से.मी. = 0.394 इंच
3. 1 फुट = 30.5 सेमी.
4. 1 मी = 3.25 फुट
5. 1 यार्ड = 0.194 मी.
6. 1 मी = 1.09 यार्ड
ब) क्षेत्रफळ -
1. 1 स्व्के. इंच = 6.45 सेमी 2
2. 1 सेमी 2 = 0.155 इंच 2
3. 1 एकर = 0.405 हेक्टर
4. 1 हेक्टर = 2.47 एकर = 100 आर/गुंठे
5. 1 स्व्के. मैल = 2.59 कि.मी. 2
6. 1 एकर फुट = 1230 मी. 3 = 1.23 मैल
7. 1 कि.मी. 2 = 0.386 स्व्के.मैल
8. 1 गॅलन = 4.55 लिटर
क) शक्ती -
1. 1 एच.पी. = 0.746 किलो वॅट
2. 1 किलो वॅट = 1.34 एच.पी.
3. ड) घनफळ - 1(इंच) 3 = 16.4 सेमी. 2
4. 1 (सेमी) 3 = 0.610 (इंच) 3
5. क्युबिक फुट (1 फुट) 3 = 0.283 मी. 3
6. 1 मी 3 = 35 फुट 3
7. 1 यार्ड 3 = 0.765 मी. 3
इ) वजन -
1. 1 ग्रॅम = 0.0353 औंस (Oz) 0
2. 1 पौंड (lb) = 454 ग्रॅम
3. 1 कि.ग्रॅ. = 2.0 पौंड (lb)
वय व संख्या -
1. दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज + दोन संख्यातील फरक) ÷ 2
2. लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक) ÷ 2
3. वय वाढले तरी दिलेल्या दोघांच्या वयातील फरक तेवढाच राहतो.
दिनदर्शिका –
· एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस
· महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात.
· टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात.
नाणी -
1. एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज
2. एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1
पदावली -
· पदावली सोडविताना कंस, चे, भागाकार, गुणाकार, बेरीज, वजाबाकी (÷, ×, +, -)
· किंवा BODMAS हा क्रम ठेवावा.
सरासरी :-
1) N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या
2) क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.
उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16 या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14
संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी
n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2
उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13
2) 1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10
3) N या क्रमश: संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2
उदा. 1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810
(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20)
सरळव्याज :-
· सरळव्याज (I) = P×R×N/100
· मुद्दल (P) = I×100/R×N
· व्याजदर (R) = I×100/P×N
· मुदत वर्षे (N) = I×100/P×R
· चक्रवाढव्याज रास (A)= P×(1+R/100)n, n= मुदत वर्षे
नफा तोटा :-
· नफा = विक्री – खरेदी
· विक्री = खरेदी + नफा
· खरेदी = विक्री + तोटा
· तोटा = खरेदी – विक्री
· विक्री = खरेदी – तोटा
· खरेदी = विक्री – नफा
· शेकडा नफा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी
· शेकडा तोटा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी
· विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100+ शेकडा नफा)/100
· विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100 – शेकडा तोटा) / 100
· खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 + शेकडा नफा)
· खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 – शेकडा नफा)
आयात, चौरस, त्रिकोण, कोन :-
· आयत -
आयताची परिमिती = 2×(लांबी+रुंदी)
· आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी×रुंदी
· आयताची लांबी = (परिमिती ÷ 2) – रुंदी
· आयताची रुंदी =(परिमिती÷2) – लांबी
· आयताची रुंदी दुप्पट व लांबी निमपट केल्यास क्षेत्रफळ तेवढेच राहते.
· आयताची लांबी व रुंदी दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते.
· चौरस -
· चौरसाची परिमिती= 4×बाजूची लांबी
· चौरसाचे क्षेत्रफळ=(बाजू)2 किंवा (कर्ण)2/2
· चौरसाची बाजू दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते.
· दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या बाजूंच्या मापांच्या वर्गाच्या पटीत असते.
समभुज चौकोण -
· समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ
· = कर्णाच्या लांबीचा गुणाकार/2
· समलंब चौकोण -
· समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = समांतर बाजूंच्या लांबीचा बेरीज×लंबांतर/2
· समलंब चौकोनाचे लंबांतर = क्षेत्रफळ×2/समांतर बाजूंची बेरीज
· समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजूंची बेरीज = क्षेत्रफळ×2/लबांतर
· त्रिकोण -
· त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची/2
· काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ
·
· = काटकोन करणार्‍या बाजूंचा गुणाकार/2
·
· पायथागोरस सिद्धांत -
· काटकोन त्रिकोणात (कर्ण)2 = (पाया)2+(उंची)2
प्रमाण भागिदारी :-
· नफयांचे गुणोत्तर = भंडावलांचे गुणोत्तर × मुदतीचे गुणोत्तर
· भंडावलांचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ मुदतीचे गुणोत्तर
· मुदतीचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ भंडावलांचे गुणोत्तर
गाडीचा वेग – वेळ – अंतर :-
A) खांब ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी/ताशी वेग × 18/5
B) पूल ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी + पूलाची लांबी / ताशी वेग × 18/5
C) गाडीचा ताशी वेग = कापवयाचे एकूण एकूण अंतर / लागणारा वेळ × 18/5
D) गाडीची लांबी = ताशी वेग × खांब ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18
E) गाडीची लांबी + पूलाची लांबी = ताशी वेग × पूल ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18
F) गाडीची ताशी वेग व लागणारा वेळ काढताना 18/5 ने गुण व अंतर काढताना 5/18 ने गुणा.
1 तास = 3600 सेकंद / 1 कि.मी. = 1000 मीटर = 3600/1000 = 18/5
G) पाण्याचा प्रवाहाचा ताशी वेग = (नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने ताशी वेग – प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने ताशी वेग) ÷ 2
H) गाडीने कापावायचे एकूण अंतर – गाडीची लांबी = बोगध्याची लांबी
I) भेटण्यास दुसर्‍या गाडीला लागणारा वेळ
= वेळेतील फरक × पहिल्या गाडीचा वेग / वेगातील फरक
लागणारा वेळ = एकूण अंतर / दोन गाड्यांच्या वेगांची बेरीज
